Instrumentation
2.1 Caractéristique statique
Une caractéristique statique représente la réponse à un signal lent. La caractéristique est le lien entre la mesurande et la sortie du capteur. Si le capteur est linéaire, on peut déduire facilement la valeur de la mesurande.
Dans bon nombre de cas, la caractéristique n’est pas linéaire.
Caractéristique d’une résistance
Note
La caractéristique donne la valeur de la résistance comme fonction de la température. Ceci est une description du comportement physique du composant. En pratique, on va mesurer la résistance et devoir en déduire la température.
2.5 Limitations de la précision
Certaines particularités limitent les possibilités de retrouver la mesurande avec précision.
- Hystérèse
Un jeu mécanique, typiquement un engrenage. Le jeu fait que le mouvement d’un axe à l’entrée ne se voit pas tout de suite à la sortie.
En magnétisme, l’aimantation a une hystérésis. La caractéristique n’est pas la même selon le sens de parcours.
- Un offset peut venir fausser la caractéristique.
- Fonction non univoque. Il n’est pas possible de trouver la bonne mesurande.
- Saturation. Si l’entrée est trop grande, le système va saturer, la sortie ne change plus quand l’entrée augmente.
2.10 Interprétation de la linéarisation
On peut interpréter de différentes façons la linéarisation. Par exemple la résistance d’une Pt1000 a la caractéristique pour \(T\) exprimée en °C. On peut linéariser de différentes façons :
\[ R=R0\left( 1 + \alpha T + \beta T^2 \right), \alpha= 0.39 \cdot 10^{-2}, \beta=-5 \cdot 10^{-6} \]
- Dérivée d’une caractéristique autour d’un point de fonctionnement
- Simplification de la relation
- Calcul d’une droite à partir des points (Identification)
2.13 Exemple en audio
Si on analyser une scène audio, où on veut faire une prise de son avec un micro. Les phénomènes suivants interviennent :
La propagation dans l’air cause une perte de 3dB chaque fois que la distance double
Le microphone a une caractéristique qui varie selon le type de micro, ce qui permet de viser un instrument per exemple.
La réponse des micros, leur directivité dépend de la fréquence de la source sonore.
Les cables peuvent introduire une attétuation
2.16 Exercice 1
Sonde de Pitot
Une sonde de Prandtl, également appelée tube de Pitot, sert à mesurer la vitesse v d’un avion par rapport à l’air. Elle compare la pression statique Pstat avec la pression totale Ptot, \[ P_{tot}=P_{stat} + \frac{\rho}{2}v^2 \] Où la densité ρ de l’air dépend de la hauteur H de vol, selon \[ \rho(𝐻) = \rho_{mer}(1 − 𝑘 \cdot 𝐻)^\alpha \] avec \(\alpha = 5.26\), \(\rho_{mer} = 1.29 [kg/m3]\), \(k = 22.6·10-6 [1/m]\), et \(H\) en [m] en dessus de la mer.
La différence entre \(P_{stat}\) et \(P_{tot}\) résulte en une différence de hauteur \(\Delta h\) de la colonne de liquide (mercure) avec la densité \(\rho _{Hg} = 13’600 [kg/m3]\). Nous prenons \(g = 9.81 [m/s^2]\).
Montrer que la relation non linéaire de la vitesse v en fonction de Δh et H s’écrit
\[ v(\Delta h, H)=\sqrt{\frac{2 \rho_{Hg} g \Delta h}{\rho_{mer}(1-k \cdot H)^\alpha}} \]
Montrer que l’expression linéarisée de cette relation, autour du point de fonctionnement \(v_0, H_0\) s’écrit :
\[ v_{lin}(\Delta h, H)=v_0 + \frac{\alpha k v_0}{2(1-k H_0)}(H-H_0)+\frac{v_0}{2 \Delta h_0}(\Delta h - \Delta h_0) \]
et donner une expression pour \(Δh_0\).
- A l’approche de Cointrin, l’avion descend de sa hauteur de vol de croisière de \(H_0 = 10 [km]\), où il volait à \(v_0 = 900 [km/h]\), à une hauteur de vol d’attente \(H_1 = 3 [km]\), et l’instrument mesure maintenant \(\Delta h_1 = 4.13 [cm]\) au lieu d’auparavant \(\Delta h_0 = 7.85 [cm]\). Calculer \(v_1\) de manière exacte et par linéarisation. Justifier brièvement, si la linéarisation se laisse bien employer dans ce cas-ci ?
Note
Exercice de la sonde de Pitot a été fait dans un jupyter notebook
Sonde de Pitot : python/ex_pitot_sol.ipynb
2.17 Exercice 2
Résistance NTC
Nous considérons une résistance NTC (negative temperature coefficient = coefficient de température négatif) qui sert de capteur de température. Sa caractéristique est représentée à la figure ci-contre.
La résistance comme fonction de la température obéit à la loi
\[ R(T)=R_{25} \exp(\beta (\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{25}})) \]
avec \(R_{25} = 10kΩ\), \(\beta = 3965 [K]\), \(T_{25} = 298 [K]\) et la température \(T\) donnée en [K].
- Linéariser cette équation autour de \(T = T_{25}\).
- Quelle est l’erreur de linéarisation en absolu (en \(\Omega\)) et en relatif (en % de la valeur non- linéaire) à 0°C?
- Admettons que ce capteur soit alimenté par un courant constant de 0.25mA. Quelle tension apparait à ses bornes à 25°C et à 0°C, en utilisant l’expression non-linéaire de R(T) ? Quelles valeurs de tension résulteraient par contre en utilisant l’estimation linéarisée de \(R(T)\) autour de \(T_{25}\) ?
Le circuit électrique est modifié comme indiqué ci-contre.
\[ \begin{align} R_S = 30 [k \Omega] && U_0 = 10 [V] \end{align} \]
- Calculer à nouveau les valeurs de U pour les températures de 25°C et 0°C, en utilisant l’expression non-linéaire de \(R(T)\), et comparer avec les résultats de la question précédente. Commenter.
