Une caractéristique statique représente la réponse à un signal lent. La caractéristique est le lien entre la mesurande et la sortie du capteur. Si le capteur est linéaire, on peut déduire facilement la valeur de la mesurande.
Dans bon nombre de cas, la caractéristique n’est pas linéaire.
Caractéristique d’une résistance
Note
La caractéristique donne la valeur de la résistance comme fonction de la température. Ceci est une description du comportement physique du composant. En pratique, on va mesurer la résistance et devoir en déduire la température.
Un système statique a une réponse instantannée. L’exemple typique est la résistance. Le courant est lié à la tension de façon statique, la relation ne dépend pas du temps.
\[ U(t) = R \cdot i(t) \]
Un système dynamique dépend du temps, comme par exemple l’enclenchement d’un moteur. Il ne peut pas tourner instantanément à sa vitesse nominale.
Caution 1: Entraînement à courant continu
Un moteur produit un couple donné par l’équation suivante : \[ M(t)=K_i \cdot i(t) \]
Le courant répond à une équation différentielle \[ u(t)=R i(t) + L \frac{di}{dt} + K_n \omega(t) \]
L’équation mécanique du moteur est donnée par \[ J \frac{d\omega}{dt} + f \cdot \omega(t) = M(t) - M_R(t) \]
Lors d’un changement de condition, un système ne trouve pas instantanément un point d’équilibre.
Par exemple, une sonde Pt100 a une masse propre. Sa température ne peut pas changer instantanément.
La sonde lorsqu’elle est plongée dans un milieu, sa température doit prendre la valeur du milieu.
De plus, le courant utilisé pour la mesure chauffe la sonde, ce qui fait augmenter sa température. A mesure que la température est plus grande, sa dissipation vers l’extérieur (par exemple l’air ambiant) augmente.
Défi
Quelles sont les équations différentielles qui régissent ce système ?
La température répond à une équation différentielle :
\[ \frac{\partial T_{sonde}}{\partial t} c_m= P_{el}-P_{th}=R \cdot i^2 - R_{th} \cdot (T_{sonde} - T_a) \]
Où \(T_a\) est la température ambiante et \(R_{th}\) une résistance thermique.
Après un temps suffisamment long, une température d’équilibre apparaît quand \(\frac{\partial T}{\partial t}=0\), soit quand :
\[ R \cdot i^2 = R_{th} \cdot (T_{sonde} - T_a) \implies T_{sonde} = \frac{R \cdot i^2}{R_{th}} + T_a \]
Attention
La valeur de \(R_{th}\) dépend des conditions d’utilisation. Dans l’air, cette valeur sera plus grande que dans l’eau. Dans l’air, l’orientation et la vitesse de l’air peut influencer la valeur.
Tip
Quel intérêt y aurait-il à utiliser une sonde de résistance plus élevée ?
Certaines particularités limitent les possibilités de retrouver la mesurande avec précision.
Un jeu mécanique, typiquement un engrenage. Le jeu fait que le mouvement d’un axe à l’entrée ne se voit pas tout de suite à la sortie.
En magnétisme, l’aimantation a une hystérésis. La caractéristique n’est pas la même selon le sens de parcours.
La résolution d’un appareil est la plus petite variation de la grandeur mesurée qui produit une variation perceptible de l’indication délivrée par l’instrument.
\[ \Delta x = \frac{\text{Plage d'entrée}}{2^N}, \text{$N$ est le nombre de bits} \]
L’étalonnage le plus simple est un réglage de l’offset et du gain d’un appareil. Il suffit d’avoir une valeur de référence à mesure pour définir le gain.
| Réglage de l’offset | L’appareil indique zéro quand il n’y a pas de valeur à mesurer |
| Réglage du gain | On utilise une valeur connue pour régler le gain. |
Tip
Les appareils de grande précision ont des références internes et peuvent s’étalonner tout seuls.
Les appareils utilisés pour du commerce ou pour une mesure officielle doivent être contrôlé et étalonnés à intervalle régulier pour garantir la précision dans le temps.
| Etalonnage d’un compteur de volume | Le compteur de volume est remis à zéro à chaque mesure. Pour étalonner, on remplit un réservoir de volume connu, particulièrement bien gradué autour de la quantité de qualibration |
| Réglage d’un appareil de mesure du gaz | Pour étalonner ce genre d’appareil, on utilise des échantillon de gaz connu. Pour le zéro, on utilise par exemple de l’azote. Pour le réglage de l’échelle, on utilise un gaz aux propriétés connues |
Une caractéristique de capteur est parfois exprimée par une relation non linéaire. On peut simplifier les calculs en effectuant une linéarisation de la caractéristique.
\[ y = f(m), \quad y_{lin} = f(m_0) + S \cdot (m-m_0), \quad S = \frac {d f(m)}{dm} \bigg|_{m_0} \qquad(1)\]
Cette linéarisation permet de simplifier le calcul. Dans beaucoup de cas, l’approximation est suffisante.
L’inversion de la caractéristique n’est pas toujours facile. Par contre une linéarisation n’est pas difficile à inverser.
Exercice
Linearisation de la caractéristique d’une résistance NTC
On peut interpréter de différentes façons la linéarisation. Par exemple la résistance d’une Pt1000 a la caractéristique pour \(T\) exprimée en °C. On peut linéariser de différentes façons :
\[ R=R0\left( 1 + \alpha T + \beta T^2 \right), \alpha= 0.39 \cdot 10^{-2}, \beta=-5 \cdot 10^{-6} \]
Pour un système multivariable du genre :
\[ Y=f(a,b,c,...) \]
La généralisation de la linéarisation consiste à calculer la dérivée sur chaque variable qu’on évalue au point de fonctionnement. On a au final une expression du genre :
\[ y_{lin} = f(a_0,b_0,...) + Sa \cdot (a-a_0) + Sb \cdot (b-b_0)+ ..., \\ Sa = \frac {d f(a,b,c,...)}{da} \bigg|_{a_0, b_0,..} \\ Sb = \frac {d f(a,b,c,...)}{db} \bigg|_{b_0, b_0,..} \\ ... \qquad(2)\]
Exercice
Linéarisez cette fonction autour du point \(x_1=3, x_2=4\) : \[ y(x_1,x_2)=0.5 \cdot x_1 \cdot x_2^2 \]
\[ \begin{array}v G_{puissance} = \frac{A_{sortie} ^2}{A_{entrée}^2}=G_{amp}^2 && G_{puissance}[dB] = 10 \cdot \log _{10}(G_{puissance}) = \\ && 10 \cdot \log _{10}(G_{amp}^2) = 20 \cdot \log _{10}(G_{amp}) \end{array} \]
Si on analyser une scène audio, où on veut faire une prise de son avec un micro. Les phénomènes suivants interviennent :
La propagation dans l’air cause une perte de 3dB chaque fois que la distance double
Le microphone a une caractéristique qui varie selon le type de micro, ce qui permet de viser un instrument per exemple.
La réponse des micros, leur directivité dépend de la fréquence de la source sonore.
Les cables peuvent introduire une attétuation
\[ A_{sortie} = A_{entrée} \cdot g_{preamp} \cdot att_{line} \cdot g_{ampli} \]
\[ \begin{array}a A_{sortie}[dB] = 20 \log_{10}(A_{entrée} \cdot g_{preamp} \cdot att_{line} \cdot g_{ampli}) = \\ 20 \log_{10}(A_{entrée}) + 20\log _{10}(g_{preamp}) + 20\log _{10}(att_{line}) + 20\log _{10}(g_{ampli}) \\ P_{sortie}[dB] = P_{entrée}[dB] + G_{pream} + G_{line} + G_{amp} \end{array} \]
Tip
Tip
Pas besoin de calculette…
Il y a des valeurs remarquables :
Sonde de Pitot
Une sonde de Prandtl, également appelée tube de Pitot, sert à mesurer la vitesse v d’un avion par rapport à l’air. Elle compare la pression statique Pstat avec la pression totale Ptot, \[ P_{tot}=P_{stat} + \frac{\rho}{2}v^2 \] Où la densité ρ de l’air dépend de la hauteur H de vol, selon \[ \rho(𝐻) = \rho_{mer}(1 − 𝑘 \cdot 𝐻)^\alpha \] avec \(\alpha = 5.26\), \(\rho_{mer} = 1.29 [kg/m3]\), \(k = 22.6·10-6 [1/m]\), et \(H\) en [m] en dessus de la mer.
La différence entre \(P_{stat}\) et \(P_{tot}\) résulte en une différence de hauteur \(\Delta h\) de la colonne de liquide (mercure) avec la densité \(\rho _{Hg} = 13’600 [kg/m3]\). Nous prenons \(g = 9.81 [m/s^2]\).
Montrer que la relation non linéaire de la vitesse v en fonction de Δh et H s’écrit
\[ v(\Delta h, H)=\sqrt{\frac{2 \rho_{Hg} g \Delta h}{\rho_{mer}(1-k \cdot H)^\alpha}} \]
Montrer que l’expression linéarisée de cette relation, autour du point de fonctionnement \(v_0, H_0\) s’écrit :
\[ v_{lin}(\Delta h, H)=v_0 + \frac{\alpha k v_0}{2(1-k H_0)}(H-H_0)+\frac{v_0}{2 \Delta h_0}(\Delta h - \Delta h_0) \]
et donner une expression pour \(Δh_0\).
Note
Exercice de la sonde de Pitot a été fait dans un jupyter notebook
Sonde de Pitot : python/ex_pitot_sol.ipynb
Résistance NTC
Nous considérons une résistance NTC (negative temperature coefficient = coefficient de température négatif) qui sert de capteur de température. Sa caractéristique est représentée à la figure ci-contre.
La résistance comme fonction de la température obéit à la loi
\[ R(T)=R_{25} \exp(\beta (\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{25}})) \]
avec \(R_{25} = 10kΩ\), \(\beta = 3965 [K]\), \(T_{25} = 298 [K]\) et la température \(T\) donnée en [K].
Le circuit électrique est modifié comme indiqué ci-contre.
\[ \begin{align} R_S = 30 [k \Omega] && U_0 = 10 [V] \end{align} \]
Altimètre
Une méthode courante de mesure de l’altitude h consiste à la déduire d’une mesure de la pression atmosphérique p. Celle-ci varie avec l’altitude selon
\[ \frac{dp}{dh}=-\rho g \]
où la densité \(\rho\) dépend elle-même de la pression \(p\) selon la relation
\[ \rho = \frac{\rho_0}{p_0}p \]
L’indice 0 dénomme des valeurs prises à une altitude de référence \(h_0\) et une température de référence \(T_0\). \(g = 9.81 [m/s2]\) est l’accélération terrestre.
La pression ambiante complète \(p_a\) dépend en outre de la température selon la relation
\[ p_a(h,T)=p(h) \cdot \frac{T}{T_0} \]
Montrer que la relation suivante pour \(h(p_a,T)\) satisfait les équations de base données suivantes :
\[ h(p_a,T)=\frac{p_0}{\rho_0 g}\ln \left({\frac{p_0}{p_a}\cdot \frac{T}{T_0}}\right) \]
Indication : Inverser \(h(p)\) en \(p(h)\), puis vérifier que \(p(h)\) est une solution des équations de base.
Montrer que l’altitude \(h(p_a,T)\) peut être linéarisée à partir d’une altitude de référence \(h_0\) selon
\[ h_{lin}(𝑝_𝑎, T) = ℎ_0 + S_p(𝑝_𝑎 − 𝑝_0) + S_T(T − T_0) \]
Montrer que pour
\(h0 = 500 [m]\), \(p_{a0} = p_0 = 1013.25 [hPa]\) (1 [hPa] = 100 [Pa]), \(T_0 = 288 [K]\) (soit 15 [°C]), \(\rho_0 = 1.225 [kg/m3]\),
on obtient \(S_p = -8.32 [m/hPa]\) et \(S_T = 29.3 [m/°C]\)
Quelle est l’erreur absolue en [m] de mesure d’altitude avec cette linéarisation, si une personne voyage de Sion \((h0,T0)\) jusqu’au Gornergrat \((h = 3135 [m], T = -5 [°C])\).
Comme l’altimètre ne dispose pas d’une mesure précise de la température T, il applique une correction standardisée de -6.5 [°C] /1000 [m] de dénivelée. Quelle est l’erreur d’altitude en calculant avec cette correction standard dans notre cas ?
Gain de système en série
Deux amplificateurs sont connectés en série. Le premier double l’amplitude du signal et le second à un gain de 34 [dB].
Sonorisation d’un orchestre
On enregistre une source sonore avec un micro MKH 416. On a 2 instruments qui sont un violon et un saxophone Les instrumentistes sont assis à 2m l’un de l’autre, on place le micro en face du violoniste, à 1m.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Niveau sonore d’un violon | 80 dBA |
| Niveau sonore d’un saxophone | 90 dBA |
| Eternuement | 90 dBA |
| Distance des spectateurs | 20 mètres |
| Attenuation avec la distance | 3dB / doublement de distance |
Entraînement à courant continu
Quel est le régime stationnaire de l’entraînement à courant continu (cf 1) ?
Instrumentation 2025-2026